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简述运动方程式

2018-7-31 08:54| 发布者: TerryZhang| 查看: 370| 评论: 0|来自: 3D Fans

摘要: 要说运动方程式,我们就要先说一些单自由度 (SDOF) 系统 假设考虑简单的质量弹簧系统。质量 (m) 取决于 u 方向上的力 F(t),而且是时间的函数。质量只能在 u 方向上移动,因此这是一个单自由度 (SDOF) 系统。运动由刚 ...

要说运动方程式,我们就要先说一些单自由度 (SDOF) 系统

假设考虑简单的质量弹簧系统。质量 (m) 取决于 u 方向上的力 F(t),而且是时间的函数。质量只能在 u 方向上移动,因此这是一个单自由度 (SDOF) 系统。运动由刚度为 (k) 的弹簧承载

在时间为 (t) 时对该系统写入牛顿第二定律(力等于质量乘以加速度),将得出:

F(t)-ku(t) = mu..(t)

或:

mu..(t) + ku(t) = F(t)

其中:

u..(t) 是质量在时间 (t) 时的加速度,它等于 u 相对于时间的二阶导数

k = 是弹簧的刚度

理论上,如果移动并释放了质量,它会永远以相同的振幅继续振动。但实际上,质量会以逐渐减小的振幅振动,直到最终停止。这种现象称为阻尼效应,由摩擦和其它效应引起的能量损耗所导致。阻尼效应是一种复杂的现象。为便于讨论,我们假定阻尼力与速度成比例。这种阻尼称为粘性阻尼。

考虑到阻尼时,上述方程式将变为:

mu..(t) + cu.(t) + ku(t) = F(t)

其中:

u.(t) 是质量在时间 (t) 时的速度,它等于 u 相对于时间的一阶导数

在静态算例中,速度和加速度微乎其微,可以忽略不计,而 F 和 u 并非时间的函数。这样,上述方程式将简化为:F=ku。

多自由度 (MDOF) 系统

对于多自由度 (MDOF) 系统,m、c 和 k 会成为矩阵而非单个值,运动方程式将表示为:

其中:

[M]:质量矩阵

[K]:刚度矩阵

[C]:阻尼矩阵

{u(t)}:在时间为 t 时的位移向量(每个节的位移分量)

:在时间为 t 时的加速度向量(每个节的加速度分量)

:在时间为 t 时的速度向量(每个节的速度分量)

{f(t)}:随时间变化的载荷向量(每个节的力分量)

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